Gvildenu | Mintys / 20190619-LieSandarųIštakos-Santrauka

Žr. 20190619 Lie sandarų ištakos ?

Andrius Jonas Kulikauskas (Self Learners Network)

Keturių klasikinių Lie grupių ir algebrų kombinatorinės ištakos

Algebra, skaičių teorija ir geometrija

Keturios klasikinės šeimos Lie grupių ir algebrų yra kertinės matematinės sandaros, siejančios algebrą ir analizę. Jų klasifikacija išplaukia iš Dynkin diagramų. Tai yra unitarinės {$A_n$}, neporinės ortogonalinės {$B_n$}, simplektinės {$C_n$} ir porinės ortogonalinės {$D_n$} grupės ir algebros. Ar galima giliau ir aiškiau įžvelgti, kokios yra šių keturių šeimų esminės savybės dėl kurių jos išsiskiria? Pristatysiu tris priėjimus ir savo pastangas juos susieti.

Pirma, Lie algebrų šaknų sistemas sietinos su jų simetrijas išreiškiančiomis Weyl grupėmis. Atitinkamas simetrijas turi trys politopų šeimos (simpleksai, kryžminiai politopai, hiperkubai) ir ketvirta sandara - hiperkubo koordinačių sistema. Šios keturios sandaros vaizduoja keturių skirtingų pobūdžio pasirinkimų kombinatorikas. Tai skirtingi būdai, kuriais protas įžvelgia simetriją Paskalio trikampiu generuojamoje sandaugoje {$x_1 x_2 \dots x_n$}. Pavyzdžiui, trikampis (simpleksas) turi vieną židinį, tris viršūnes, tris kraštus ir vieną visumą. O pastačius kūbą ant vienos viršūnės, jo aštuonios viršūnės išsidėsto: 1, 3, 3, 1. Atkreipiame dėmesį, kad šios simetrijos paviršutiniškai sutampa tačiau skiriasi savo sintaksine logika.

Antra, klasikinių Lie algebrų šaknų sistemos skirtingai auga. Visos grupės turi šaknis {$-x_1+x_2, -x_2 + x_3, \dots , -x_{n-1}+x_{n}$}. Grupės {$A_n$} šaknys auga toliau {$-x_n+x_{n+1}$}. Tačiau kitų grupių šaknys įvairiai sieja šį skaičiavimą pirmyn su skaičiavimu atgal {$-x_n-x_{n-1}, -x_{n-1}-x_{n-2}, \dots , -x_2-x_1$}. Grupė {$C_n$} juos suduria tiesiogiai, tarsi sulenkiant siūlą. Taip atsiranda šaknis {$-x_n -x_n = -2x_n$}. Grupė {$B_n$} tarsi karpo skaičiavimo siūlą ir sujungia abi dalis papildomu nuliu {$0$}. Taip atsiranda šaknis {$-x_n +0 = -x_n$}. Grupė {$D_n$} tarsi karpo skaičiavimo siūlą ir sutapatina abiejų dalių galus, taip kad {$-x_n = -x_n$} ir seka šaknis {$-x_n -x_{n-1}$}. Taigi, klasikinių Lie algebrų šaknų sistemos išsako santykį tarp skaičiavimo pirmyn ir skaičiavimo atgal.

Trečia, klasikines Lie grupes sudaro skirtingų dalybos algebrų isometrijos. Ortogonalinės, unitarinės, simplektinės grupės atitinkamai sudaro realųjų skaičių, kompleksinių skaičių, kvaternionų isometrijos.

Papasakosime, kaip sekasi tirti ir sieti šiuos tris skirtingus priėjimus, ir kaip jie atkreipia dėmesį į simetrijas glūdinčias pačioje matematikoje, paprasčiausiose jos ženklų išraiškose.